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En este apartado vamos a estudiar la monotonía de la función, que es la forma de decir que vamos a estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función. Todos entendemos qué es crecer y decrecer y lo único que tenemos que tener bien claro es que siempre consideramos que vamos de izquierda a derecha en el estudio del crecimiento de una función, es decir, estamos analizando si la función crece o decrece según aumenta el valor de la x. En la siguiente animación (puedes pinchar sobre el punto y moverlo) verás que si Chuqui quiere alcanzar la tarta tiene que subir por la recta, lo que significa que a mayor valor de la x, mayor valor de la y.

Ya sabes que una pendiente positiva de la recta significa que la recta "sube", por lo tanto una recta con pendiente positiva es una función creciente en todo su dominio. Análogamente una recta con pendiente negativa significa que la recta "baja", por lo tanto una recta con pendiente negativa es una función decreciente en todo su dominio. Lo mismo podemos decir en una función: un tramo de función en el que según avanzamos a lo largo del eje X la gráfica sube es un tramo donde la función es creciente y un tramo de función en el que según avanzamos a lo largo del eje X la gráfica baja es un tramo donde la función es decreciente. En la siguiente animación puedes observar cómo un punto recorriendo la función va subiendo o bajando por la gráfica de una función a lo largo del eje X. Para que lo veas más claro he dibujado una recta que simula la pendiente que el punto estaría subiendo o bajando.

Observa que entre los tramos de subida y bajada hay puntos de la gráfica donde la recta que simula la pendiente se pone totalmente horizontal, es decir, la función ni crece ni decrece ¿qué ocurre en dichos puntos? Pues si la función pasa de ser creciente a ser decreciente, ese punto es un máximo de la función. Si por el contrario la función pasa de ser decreciente a ser creciente, la función tiene en ese punto un mínimo. Pincha aquí para ver un máximo en una función. Pincha aquí para ver un mínimo en una función.

Los tramos de crecimiento y decrecimiento de una función los expresamos siempre mediante intervalos del eje X abiertos, es decir, expresas entre dónde y dónde (del eje X) crece la función. Ejemplo:

La anterior función es decreciente en (-∞,1) y es creciente en (1,∞). ¡Recuerda: son intervalos abiertos, tramos de la función!

Los máximos y los mínimos los indicamos con sus coordenadas. Ejemplo: la anterior función tiene un mínimo en (1,1), es decir, está situado en x = 1 y tiene y = 1.

No confundas la notación de intervalos (-1,1) que quiere decir todos los valores desde -1 a 1 sin incluir el -1 ni el 1; con la notación de las coordenadas de un punto (-1,1), que quiere decir que es un punto que tiene abscisa x = -1 y ordenada y = 1.

Un ejemplo más difícil para que lo acabes de ver:

Esta función crece en (-∞,-2)U(-2,2).

Esta función decrece en (2,5)

Esta función es constante en (5,∞)

Esta función tiene un máximo en (2,4)

Tengo que partir el intervalo en x=-2 porque la función no está definida (no existe) para ese valor de la x. El símbolo U indica unión de esos dos intervalos abiertos. ¿Tu siguiente pregunta es por qué no parto el intervalo en x=0 donde hay una discontinuidad? Buena observación, pero fíjate que para x = 0 la función sí está definida (existe) porque tenemos el punto relleno,

así que no hace falta partir el intervalo, la función crece para x moviéndose entre los valores -2 y 2.

Otro ejemplo:

Esta función es decreciente en (-2,1).

Esta función es creciente en (1,2)U(5,∞)

Esta función es constante en (2,5)

Esta función tiene un mínimo en (1,-7)

Máximos o mínimos absolutos y relativos

Un máximo de una función se denomina absoluto cuando es el que tiene mayor ordenada y de todos los máximos de la función (es el mayor de todos los máximos de la función). Análogamente, un mínimo de una función se denomina absoluto cuando es el que tiene menor ordenada y de todos los mínimos de la función (es el menor de todos los mínimos de la función). Los máximos y mínimos de una función que no sean absolutos se denominan relativos.