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Recordemos que el dominio de una función es el conjunto de valores de la variable x que puedo introducir en la función sin que esta, por decirlo de alguna forma, “se estropee”.
Vamos a dar las funciones en forma matemática explícita, es decir, mediante una ecuación en la que tenemos despejada la y, recordemos que decir y es lo mismo que poner f(x) pues con y=f(x) simplemente estamos expresando que la y es función de la x.
 

Empecemos con las funciones más sencillas: los polinomios

 Sea y = 2+x. Observemos que metamos el valor que metamos en la x nos siguen saliendo valores para la y que tienen sentido.

Por lo tanto, puedo meter en la x cualquier número real que la función seguirá funcionando, por eso se dice que el dominio de la función es el conjunto de los números reales, es decir, expresándolo en intervalos, el dominio de la función es .

Consideremos otro polinomio . Volvemos a observar que todos los valores que metamos en la x nos valen pues no nos sale nada extraño, así que también el dominio de esta función es .Es más, toda función que sea un polinomio tiene como dominio toda la recta real, es decir, .

Veamos ahora otro tipo de funciones, las denominadas funciones racionales, es decir, una fracción en la que el denominador es un polinomio pudiendo ser también el numerador un polinomio.

Ejemplos:

Hemos visto que los polinomios no dan ningún tipo de problema, que su dominio es , pero cuando el polinomio está en el denominador sí se puede presentar un problema. Veámoslo con un ejemplo.

Sea la función racional . Si introducimos el valor x = -2 tenemos que 2 + x = 2 - 2 = 0, es decir, que ,

resultado que no tiene sentido pues dividir entre 0 no sabemos.

Esto nos indica que para determinar el dominio de una función racional hay que tener cuidado y eliminar del dominio
los valores de la x que hacen que el denominador se anule. Así, en el ejemplo anterior diremos que el dominio de la función es .
Al poner abiertos los intervalos en -2 dicho punto no entra. También podemos indicarlo expresándolo verbalmente diciendo que el dominio de la función es toda la recta real excepto el -2.

 Veamos otro ejemplo. Sea la función

Como hemos dicho, sólo habrá problema en los puntos donde se anula el denominador, así que busco esos puntos en los que el denominador se hace cero, para buscarlos tengo que resolver entonces la ecuación , que es una ecuación de 2º grado incompleta con la b=0. Por lo tanto para resolverla

Así que de toda la recta real tengo que eliminar el -1 y el +1, pues esos valores de la x hacen que el denominador se haga cero. Lo expresaré diciendo que el dominio de la función es toda la recta real excepto el -1 y el 1 o también puedo decir que el dominio de la función es .

Notemos, para terminar con las funciones racionales, que si el numerador es un polinomio pero el denominador no lo es, es únicamente un número, volvemos al caso de las funciones polinómicas, es decir, la función es un polinomio. Ejemplo:

Pasemos ahora al caso de las funciones radicales, es decir, las funciones que contienen al menos una raíz (que puede ser cuadrada, cúbica, etc.). Vamos a considerar únicamente el caso de las raíces cuadradas y recordemos que sólo sabemos hacer raíces cuadradas de números positivos, pues no conocemos ningún número cuyo cuadrado sea un número negativo. Eso nos da la pista para determinar el dominio de este tipo de funciones. Además, teniendo en cuenta que una raíz cuadrada tiene dos signos vamos a definir la función tomando sólo la raíz positiva, pues si tomáramos también la negativa no estaríamos definiendo una función, ya que a una x le corresponderían dos valores diferentes para la y. Veámoslo con un ejemplo: sea la función . Si introduzco cualquier valor positivo en x, sea el que sea, la raíz, aunque no sea exacta, la puedo calcular y por tanto la función no se me estropea

Si tomara los dos signos de la raíz, tendría que

Con lo que resultarían dos valores para la y. Así que definimos la función tomando únicamente la raíz positiva, así será:

¿Pero qué pasa cuando introduzco valores para la x negativos?

Pero la raíz de -4 no la sabemos hacer, así que los valores negativos para la x nos estropean la función. Es decir, en las funciones radicales hemos de eliminar de su dominio todos aquellos valores de la x que hagan que lo de debajo de la raíz (radicando) se haga negativo. Por eso diremos en el ejemplo que el dominio de la función es intervalo que no incluye valores negativos para el radicando.

Otro ejemplo, sea la función . Veamos dónde el radicando x + 2 empieza a hacerse negativo. Para ello veamos dónde se anula .
Vemos que para valores mayores que -2 el radicando se hace positivo:

Valores de los que sabemos hallar la raíz y que por tanto no estropean nuestra función. Pero para valores más pequeños que -2 tenemos que:

Valores negativos de los que no sabemos hallar la raíz y que por tanto nos estropean la función. Por lo tanto tenemos que eliminar del dominio de la función todo el tramo de la recta real que está por debajo de -2 y así diremos que el dominio de la función es .

Otro ejemplo, sea la función . Buscamos dónde se anula el radicando para saber dónde empezar a mirar , vemos que para valores mayores que 4 el radicando es positivo, para valores más pequeños que 4 el radicando es negativo, así que el dominio de la función es .