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π=3,14159265… Existe otro número tan famoso como π, es el artista invitado de todos los saraos veraniegos que se precien de invitar a las funciones más trascendentes, es el número e (denominado así debido a Euler, que dio su nombre al número al estudiarlo a principios del siglo XVIII, no en honor del e-mail ni del e-learning, nada de eso). Al igual que su colega π, tiene infinitas cifras decimales. Dándote sólo las 15 primeras tienes que e=2,718281828459045…Con este valor tan raro, e entra en el universo de las constantes matemáticas por la puerta grande. Las funciones que utilizan e como base de una potencia en cuyo exponente va la variable x se denominan exponenciales y son funciones que describen procesos muy importantes en la naturaleza, como puede ser el ritmo de desintegración de núcleos radioactivos o el crecimiento del percebe salvaje chico-chico en los mares (probablemente no sea esta especie, pero describe el crecimiento de muchas especies animales, no es broma). Por lo tanto son funciones muy importantes. La función exponencial más sencilla tiene por expresión . Lo que indica esta expresión es que estás multiplicando por sí mismo e x veces. Esa función tiene el siguiente aspecto:

Como características más destacables…su tendencia a crecer muy rápidamente con el aumento de la x y que intersecciona al eje Y a altura 1. También vemos cómo al hacerse las x más negativas la gráfica se va casi solapando con el eje X pero sin llegar nunca a cortar dicho eje. Estas tendencias se suelen expresar diciendo que si x tiende a infinito la y tiende a infinito, si x tiende a menos infinito la y tiende a 0.

Vamos a estudiar pequeñas variantes de esa exponencial básica. Consideremos la exponencial de ecuación donde y tienen valores cualesquiera.

Comencemos estudiando cómo variar el valor de k varía la forma de la gráfica. Para verlo más sencillamente vamos a fijar el valor de a haciendo a=1, con lo que la expresión de nuestra función queda de la forma . Veamos qué ocurre al variar el valor de k:

Lo que observamos es que, al quedar la exponencial básica multiplicada por k, la gráfica de la función corta al eje Y a altura k, entonces, cuando la k se hace negativa, la función se invierte y queda por debajo del eje X. Vemos entonces que multiplicar por k lo que hace es hacer crecer (o decrecer si k negativa) más rápidamente de la función.

Ahora, para observar los efectos del coeficiente a más sencillamente, vamos a fijar el valor de k como k=1. Así que la expresión de nuestra función será . Vamos a variar el valor de a para ver los efectos en la gráfica:

El efecto de hacer mayor a es que, aunque la gráfica siga cortando al eje Y a altura 1, las tendencias de la función se hacen más agudas, es decir, más rápidamente se dispara la función hacia el infinito, para las x positivas, y más rápidamente se solapa la gráfica con el eje X para las x negativas. En el momento en que la a se hace negativa tenemos que la gráfica "se da la vuelta" en el sentido de que, para valores de a negativos, la función se dispara a infinito para las x negativas y tiende a 0 para las x positivas.

Para ver los efectos de variar simultánemente a y k pincha aquí.

Hay veces que los organizadores del sarao veraniego matemático no tienen la suficiente pasta para traer como invitada a una constante de la talla del número e, así que tienen que contar con números normalitos como 1, 2, 27…Así el espectáculo queda en la forma con b pudiendo tomar cualquier valor positivo excepto 0 (si queremos que siga siendo una exponencial) . Vamos a poner la a=1 y la k=1 para que veas mejor el efecto de modificar la base de la exponencial, es decir, variar b teniendo la ecuación :

Observa cómo la gráfica sigue cortando al eje Y a altura 1 porque para todo valor de b. El aumento de b produce también un agudizamiento de las tendencias similar al que producía el aumento de a aunque un poco más lento. Es importante que observes que para valores de b entre 0 y 1, tenemos una base de la potencia que es un número decimal más pequeño que uno, lo que significa que estás multiplicando por sí mismo x veces una fracción con denominador cada vez más grande según se hace el número decimal más pequeño, con lo cual estás obteniendo como resultado de la potenciación un número más pequeño cuanto mayor sea la x, es decir, cuanto mayor sea el número de veces que multiplicas esa piltrafilla de número por sí mismo. Para x negativas (como un exponente negativo significa dar la vuelta a la fracción que esté en la base) tenemos que a medida que las x se hacen negativas, multiplicamos por sí mismo x veces un número ya decente, así que lógicamente obtenemos valores cada vez más grandes. Imagina que b=0,003 entonces:

Así que para valores de la b entre 0 y 1 observa que la gráfica de la función se invierte, crece para la parte del eje X negativa y se solapa con la parte del eje X positiva.