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Antes de comenzar con las funciones logarítmicas tienes que entender la siguiente expresión:

que se lee como logaritmo en base a de x igual a b y que significa que b es el número al que tienes que elevar a para que el resultado sea x, es decir:

Así porque 2 al cubo es 8. Se denomina logaritmo natural al de base 10 y se suele expresar como log sin ponerle base. Se denomina logaritmo neperiano, en honor a John Napier (sobre el que no encuentro foto para decirte si tenía una gran napia o no, pero se lo curró con los logaritmos), al logaritmo de base el número e y se expresa como ln.

Las funciones logarítmicas contienen en su definición un logaritmo que depende de la variable x. En la siguiente representación puedes ver las gráficas de las funciones logaritmo de base e, 2 y 10 (activa la casilla del tipo de logaritmo que quieras ver).

Si comparas la gráfica de estas tres funciones observarás que todas ellas cortan al eje X en x=1 ( sea cual sea el valor de la base a tenemos que a elevado a 0 es 1). Además, todas las gráficas se van solapando con el eje Y cuando la x se aproxima a 0, pero sin cortar dicho eje (el dominio de la función es el intervalo (0,∞). Luego, a medida que aumenta x vemos que todos estos logaritmos crecen y crecen, unos más rápidos que otros. ¿Te has fijado en que a mayor base del logaritmo menos rápido crece la función? Eso se entiende mejor si te digo que estas funciones logarítmicas son simétricas a sus correspondientes exponenciales (es decir, de base e, 2 y 10) respecto al eje de simetría y = -x (puedes observarlo activando las casillas del eje de simetría y las de cada una de las exponenciales).