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Las funciones hipérbolas que vamos a estudiar tienen la ecuación con a, b y k con valores cualesquiera( y porque sino ya no sería una hipérbola). La gráfica de una hipérbola tiene la siguiente apariencia:

Vemos entonces que una hipérbola es una función simétrica respecto a un eje constituída por dos ramas, siendo además una función discontinua (con una discontinuidad de salto infinito ).

Vamos a estudiar cómo la variación de cada uno de los coeficientes afecta a la forma de la gráfica.

Primero, por simplicidad, consideremos b=0 y a=1, con lo que la ecuación de la hipérbola es (esta función se suele denominar función de proporcionalidad inversa). En la siguiente animación, hacemos que la k varíe para ver los efectos en la gráfica de la función:

A medida que k aumenta, las ramas de la hipérbola se despegan más de los ejes de coordenadas, significando que la función crece o decrece más rápidamente (observa que los puntos simétricos de la hipérbola de abscisas x=1 y x=-1 están más despegados del eje X al aumentar k). También puedes ver que para valores de la k positivos las ramas de la hipérbola están en el primer y tercer cuadrantes, mientras que para k negativos las ramas de la hipérbola están en el 2º y 4º cuadrantes.

Ahora, también por simplicidad, consideremos k=1 y b=0, para ver qué ocurre cuando variamos a. La ecuación de la hipérbola será ahora :

Te habrás dado cuenta de que la a modifica al revés que la k, es decir, a medida que aumenta la a, las ramas de la hipérbola se pegan a los ejes, crece o decrece la función más lentamente. Respecto a la situación en los cuadrantes pasa lo mismo que con k: para valores de la a positivos las ramas de la hipérbola están en el primer y tercer cuadrantes, mientras que para a negativas las ramas de la hipérbola están en el 2º y 4º cuadrantes.

Veamos ahora los efectos de variar b. Por simplicidad consideremos a=1 y b=1, con lo que la ecuación de la hipérbola es :

Como ves, al variar b lo que ocurre es que el abscisa para la que la hipérbola tiene el salto infinito varía, pues dicha abscisa resulta ser x=-b, dado que ese es el valor de la x para el que la función es discontinua en su dominio (es una función racional y tiene discontinuidades para los valores de la x que anulan el denominador). Esto genera además que, como observas, el eje de simetría se desplace a lo largo del eje X, pues dicho eje de simetría es la recta de ecuación .

Ahora que ya sabes el efecto de cada coeficiente puedes pinchar aquí para ver la variación simultánea de todos ellos.

Podemos desplazar también el eje de simetría de la hipérbola a lo largo del eje Y, en ese caso tenemos la ecuación para la hipérbola es . Al sumar el coeficiente c lo que hacemos es desplazar dicho eje de simetría a lo largo del eje Y, pues la ecuación del mismo será ahora, al sumar c, de la forma . Si pinchas aquí podrás verlo más claramente.